[백준 6588] 골드바흐의 추측 (C++)

https://www.acmicpc.net/problem/6588

문제

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1742년, 독일의 아마추어 수학가 크리스티안 골드바흐는 레온하르트 오일러에게 다음과 같은 추측을 제안하는 편지를 보냈다.

4보다 큰 모든 짝수는 두 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

예를 들어 8은 3 + 5로 나타낼 수 있고, 3과 5는 모두 홀수인 소수이다. 또, 20 = 3 + 17 = 7 + 13, 42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23 이다.

이 추측은 아직도 해결되지 않은 문제이다.

백만 이하의 모든 짝수에 대해서, 이 추측을 검증하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

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입력은 하나 또는 그 이상의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 테스트 케이스의 개수는 100,000개를 넘지 않는다.

각 테스트 케이스는 짝수 정수 n 하나로 이루어져 있다. (6 ≤ n ≤ 1000000)

입력의 마지막 줄에는 0이 하나 주어진다.

 

출력

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각 테스트 케이스에 대해서, n = a + b 형태로 출력한다. 이때, a와 b는 홀수 소수이다. 숫자와 연산자는 공백 하나로 구분되어져 있다. 만약, n을 만들 수 있는 방법이 여러 가지라면, b-a가 가장 큰 것을 출력한다. 또, 두 홀수 소수의 합으로 n을 나타낼 수 없는 경우에는 "Goldbach's conjecture is wrong."을 출력한다.

 

문제 풀이

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에라토스테네스의 체를 이용한 문제.

 

소수를 구해야 하므로 에라토스테네스의 체를 활용하여 소수를 구한다. 벡터에 소수를 저장하면 a와 b를 구하는데 빠른 탐색이 가능하다. 소수를 저장한 벡터를 돌면서 a+b = N이 되는지 확인한다. 인덱스가 i라고 한다면 a는 v.at(i)이고 b는 n - v.at(i)이며, 에라토스테네스의 체를 구하면서 해당 수가 소수인지 저장하는 배열 isPrime에 접근함으로써 b가 소수인지 아닌지 바로 구할 수 있다. 벡터의 모든 수를 돌았는데도 a와 b 모두 소수가 되는 경우가 없다면 Goldbach's conjecture is wrong.을 출력해주면 된다.

 

아래는 코드.

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main()
{
	cin.tie(NULL);
	ios::sync_with_stdio(false);

	bool* isPrime = new bool[1000001];
	vector<int> primes;
	for (int i = 0; i < 1000001; i++)
	{
		isPrime[i] = true;
	}
	isPrime[0] = false;
	isPrime[1] = false;
	for (int i = 2; i <= sqrt(1000000); i++)
	{
		for (int j = 2 * i; j < 1000001; j += i)
		{
			isPrime[j] = false;
		}
	}
	for (int i = 3; i < 1000001; i+=2)
	{
		if (isPrime[i] == true)
		{
			primes.push_back(i);
		}
	}
	int N;
	while (true)
	{
		cin >> N;
		bool canMake = false;
		if (N == 0)
		{
			break;
		}
		for (int i = 0; i < primes.size(); i++)
		{
			int left = N - primes.at(i);
			if (left < 0)
			{
				break;
			}
			if (isPrime[left] == true)
			{
				cout << N << " = " << primes.at(i) << " + " << left << "\n";
				canMake = true;
				break;
			}
		}
		if (canMake == false)
		{
			cout << "Goldbach's conjecture is wrong.\n";
		}
	}

	return 0;
}