[백준 17626] Four Squares (C++)

https://www.acmicpc.net/problem/17626

17626번: Four Squares

문제

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라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 5²과 1²의 합이다; 또한 4² + 3² + 1²으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 125² + 6² + 1² + 1²라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 105² + 15² + 8² + 5².

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

 

입력

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입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

 

출력

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출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

 

문제 풀이

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dp를 이용한 문제.

최소 개수를 정하는 dp 배열를 정의한다. dp[i]에는 합이 i와 같게 되는 제곱수들의 최소 개수가 저장될 것이다.

모든 자연수 N은 N * 1²이므로 최대 개수는 N개가 된다. 따라서 먼저 dp 배열을 dp[i] = i로 초기화한다. 그리고 N이하의 제곱수들을 이용해 이 값을 줄일 수 있다.

예를 들어 26은 1+25, 4+22, 9+17, 16+10, 25+1의 합으로 구할 수 있다. 제곱수의 경우 최소 개수가 1이 되므로, 26에서 얻어질 수 있는 최소 개수는 25의 최소 개수+1, 22의 최소 개수+1, 17의 최소 개수+1, 10의 최소 개수+1, 1의 최소 개수 + 1이 가능하다. 이 때 j의 최소 개수는 dp[j]로 정의했으므로, dp[25]+1, dp[22]+1, dp[17]+1, dp[10]+1, dp[1]+1이 된다. 이중 가장 작은 값을 구해 dp[26]에 저장하면 된다.

 

아래는 코드.

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
	cin.tie(NULL);
	ios::sync_with_stdio(false);

	int N;
	cin >> N;
	int* dp = new int[N + 1];
	for (int i = 0; i < N + 1; i++)
	{
		dp[i] = i;
		for (int j = 1; j <= sqrt(i); j++)
		{
			dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
		}
	}
	cout << dp[N] << "\n";
	return 0;
}